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2.5. Kreisbewegungen

2.5.1. Winkelgeschwindigkeit

Kreisbewegungen spielen in der Physik eine besondere Rolle. Viele Maschinen benutzen zyklische Bewegungen (Räder etc.).

Mit den mechanischen Begriffen, die wir bis jetzt kennengelernt haben lassen sich Kreisbewegungen zwar im Prinzip beschreiben, es ist aber zweckmäßig, für Kreisbewegungen spezielle Begriffe einzuführen.

Wir betrachten einen Körper (Massepunkt), der sich im Abstand r um einen festen Punkt (Drehzentrum) auf einer Kreisbahn bewegt. Wir beschreiben den Ort, an dem sich der Körper befindet zweckmäßigerweise durch den Winkel \phi an dem er sich zur Zeit befindet, \phi(t).

Skizze

Wir messen den Winkel immer im Bogenmaß (Radian) . Die Umrechnung ist einfach:

 \phi (deg) = \frac{360}{2\pi} \phi (rad)

Ein Vollkreis im Bogenmaß hat also 2\pi Radian. Damit lässt sich im Bogenmaß leicht die zu einer Winkeldifferenz \Delta\phi gehörige Bogenlänge \ell berechnen:

 \ell = \Delta\phi \, r

Wir definieren die Winkelgeschwindigkeit \omega als den Winkel \Delta\phi, den der Körper in der Zeit \Delta t überstreicht:

 \omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{d\phi}{dt}

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit sei die Umlaufzeit T. In der Zeit T überstreicht der Körper den Winkel 2\pi.

Die Umlauffrequenz \nu ist

 \nu = \frac{1}{T}
Die Einheit der Umlauffrequenz (Drehfrequenz, Drehzahl) ist 1 Hertz = 1/s = 1 Hz.

Damit ist die Winkelgeschwindigkeit

 \omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}

Die Winkelgeschwindigkeit heißt auch Kreisfrequenz.

Ein Körper der sich mit der Winkelgeschwindigkeit \omega bewegt, hat die Bahngeschwindigkeit (Momentangeschwindigkeit)

 v = \frac{2\pi \, r}{T} = \omega r

Achtung: der Betrag der Bahngeschwindigkeit ändert sich bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit nicht, aber die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich ständig. Daher ist Geschwindigkeit Kreisbewegung immer eine beschleunigte Bewegung .

Beispiel:

Ein Punkt am Äquator hat einen Abstand  r \approx 6370 km von Erdachse (Drehzentrum).

Die Umlaufzeit beträgt  T = 1d = 24 h = 86400 s

Die Umlauffrequenz beträgt  \nu = \frac{1}{T} = 1 d^{-1} = \frac{1}{86400} Hz \approx 1.16 \times 10^{-5} Hz

Die Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) ist  \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{86400} s^{-1} \approx 7.27 \times 10^{-5} s^{-1}

(All dies gilt für jeden Punkt auf der Erde, unabhängig von  r )

Die Bahngeschwindigkeit hängt von r ab. Sie beträgt am Äquator  v = \omega r = 7.27 \times 10^{-5} s^{-1} 6370 km \approx 463 \frac{m}{s} \approx 1670 \frac{km}{h} \approx 40000 \frac{km}{d} .

2.5.2. Zentrifugalkraft

Damit sich ein Körper mit konstanter Winkelgeschindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, muss ständig eine Kraft wirken, die ihn in Richtung des Drehzentrums beschleunigt. Diese Kraft nennt man die Zentripetalkraft oder Radialkraft . Die entsprechende Gegenkraft, mit der Körper vom Drehzentrum wegstrebt heißt Zentrifugalkraft . Wegen actio = reactio hat die Zentrifugalkraft den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft, aber das entgegengesetzte Vorzeichen (Richtung).

Die Größe der Zentrifugalkraft ist

F = m \omega^2 r = \frac{m v^2}{r}

Die Bahngeschwindigkeit ändert sich bei Übersteichen eines (kleinen) Winkels \Delta \phi um einen (kleinen) Vektor \Delta v , der senkrecht auf v steht und dessen Betrag proportional zu \Delta \phi und zu v ist:

Skizze

 \Delta v = v \Delta \phi

Die Beschleunigung ist %\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = v \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = v \frac{d\phi}{dt} = v \omega = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \] %

Damit ist die Zentrifugalkraft

 F = ma = \frac{m v^2}{r} = m \omega r

Beispiele:

Versuche

-- Main.deschPHYSIK.UNI-FREIBURG.DE - 15 May 2006