Skip to content.
Desch > Teaching > PfM42

4.2 Thermische Bewegung

4.2.1 Wärmemenge

4.2.2 Molekularbewegung

Wir hatten den Temperaturbegriff bisher nur sehr vage formuliert.

Energie = Wärmekapazität * Temperatur

Wo bleibt die in einem Stoff gespeicherte Wärmeenergie?

Temperatur = statistischer Begriff ; nur anwendbar auf viele Teilchen (Ensemble). 1 Mol = 6 10^{23} Teilchen arrowbright.gif Bahnen der einzelnen Teilchen nicht berechenbar. Temperatur beschreibt den "durchschnittlichen" Bewegungszustand der Teilchen. Die Wärmeenergie ist (mikroskopisch) gespeichert in

  • Translations-Energie  \frac{1}{2} m \bar{v}^2 (Gase und Flüssigkeiten)
  • Rotations-Energie (Gase und Flüssigkeiten)
  • Vibrations-Energie (Festkörper)

Die Bewegung der einzelnen Moleküle ist ungeordnet (zufällig).

Wird sichtbar in der Brown'schen Molekularbewegung

Freiheitsgrade (Gase)

  • Jedes Molekül kann sich in drei Raumrichtungen bewegen. arrowbright.gif 3 Freiheitsgrade

  • Zwei-atomige Moleküle können darüberhinaus um zwei unabhängige Achsen rotieren arrowbright.gif 2 weitere Freiheitsgrade

  • Mehr-Atomige Moleküle kónnen um drei unabhängige Achsen rotieren arrowbright.gif noch ein weiterer Freiheitsgrad

Freiheitsgrade (Kristalle, z.B. einfache Metalle)

  • Jedes Molekül kann in drei Raumrichtungen schwingen. Mit jeder Schwingungsrichtung sind zwei Freiheitsgrade verbunden (1 für kinetische Energie, 1 für potentielle Energie)

Gleichverteilungssatz:

Die mittlere Bewegungsenergie in einem Molekül beträgt pro Freiheitsgrad \frac{1}{2} k T

Damit kann man die Wärmekapazität ausrechenen:

Die thermische Energie in N Molekülen eines einatomigen Gases (z.B. Helium) ist  Q = \frac{3}{2} N k T = \frac{3}{2} n R T. Damit ist die molare Wärmekapaizität

 c_m = \frac{Q}{T n} = \frac{3}{2} R

Für ein zwei-atomiges Gas (Sauerstoff, Stickstoff) gilt

 c_m = \frac{5}{2} R

Für ein mehratomiges Gas (z.B. Kohlendioxid CO2) gilt

 c_m = 3 R

Dies gilt, wenn man das Volumen des Gases konstant hält. Wenn man erlaubt, dass sich das Gas bei Erwärmung ausdehnt (also z.B. den Druck konstant hält), verrichtet das Gas zusätzlich Volumenarbeit; die Wärmekapazität bei konstantem Druck ist also größer, als die bei konstantem Volumen.

Für Flüssigkeiten ist die Situation komplizierter, da hier die Wechselwirkung mit den Nachbarmolekülen eine Rolle spielt. Daher ist beispielsweise die Wärmekapazität von Wasser stark von der Temperatur selbst abhängig ("Anomalie").

Bei kristallinen Festkörpern ist die Situation wieder etwas einfacher. Ein Molekül schwingt an einem festen Ort Mit jeder Schwingungsrichtung sind zwei Freiheitsgrad (für die kinetische und die potentielle Energie verbunden). Die molare Wärmekapazität von Metallen ist in etwa

 c_m = 3 R \quad \mathrm{Regel von Dulong-Petit

Die Energie pro Freiheitsgrad ist die mittlere Energie pro Molekül. Die tatsächliche Energie schwankt von Molekül zu Molekül es gibt schnellere und langsamere.

In Gasen wird die Geschwindigkeit der Moleküle beschrieben durch die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung . Sie gibt die relative Häufigkeit an, mit der man bei einer gegeben Temperatur welche Geschwingikeit findet.

maxwell1.png

maxwell2.png

4.2.3 Wärmeleitung

Wenn man zwei Körper in Kontakt bringt gleichen sich ihre Temperaturen mit der Zeit an.

Dadurch wird Energie vom wärmeren auf den kälteren Körper übertragen.

Durch die Kontaktfläche wird als Energie transportiert. Der Energietransport findet statt durch elastische Stöße der Moleküle an der Kontaktfläche. Dadurch verlieren die Moleküle im wärmeren Körper im Mittel Energie, die im kälteren gewinnen Energie.

Wie schnell dieser Ausgleich der Temperaturen stattfindet hängt vom Stoff ab.

Wenn eine Wärmemenge Q durch eine Fläche in einer Zeit t transportiert wird nennt man die pro Zeit transporierte Wärmemenge den Wärmestrom

 I_Q = \frac{dQ}{dt}
Je größer die Kontakt fläche ist, desto mehr Wärme kann transportiert werden. Den Wärmestrom pro Fläche nennt man die Wärmestromdichte
 j_Q = \frac{I}{A}
Je größer der Temperaturunterschied dT entlang einer Strecke dx ist, desto größer ist die Wärmestromdichte:
 j_Q = - \lambda \frac{dT}{dx} \quad \mathrm{Waermeleitungsgleichung}
Minuszeichen: die Wärmeenergie fließt von hoher zu niedriger Temperatur. Wenn j_Q postiv ist, ist \frac{dT}{dx} negativ. Die Materialeigenschaft \lambda heißt Wärmeleitfähigkeit .

Einheit von \lamdba: J / (m s K) = W / (K m)

Beispiele für Wärmeleitfähigkeiten:

Stoff Wärmeleitfähigkeit in W/Km
Aluminium 238
Eisen 15
Kupfer 394
Holz ~0.2
Glas 1.0
Glaswolle 0.042
Wasser 0.600
Luft 0.026

Beispiel:

Die Oberseite einer Kellerdecke habe konstant die Temperatur 10 Grad Celsius. Im Darüberliegenden Wohnzimmer hält die Heizung die Temperatur konstant auf 25 Grad Celsius.

Welche Wärmemenge wird pro Quadratmeter und Selunde aus dem Wohnzimmer in den Keller transportiert wenn der Fussboden aus

  • a) 1cm Marmor (\lambda = 2.8 W/Km) besteht?
  • b) 1cm Kork (\lamdba = 0.04 W/Km) besteht?

 Q = A t j_Q = - A t \lambda \frac{dT}{dx}

 = 1 m^2 s 2.8 \frac{W}{K m} 15 \frac{K}{0.01 m} = 4.2 kW \quad \mathrm(Marmor)
 = 1 m^2 s 0.04 \frac{W}{K m} 15 \frac{K}{0.01 m} = 60 W \quad \mathrm(Kork)

Die große Wärmeleitfähigkeit ist der Grund warum sich Metalle, Marmor etc. "kalt anfühlen". Die Stoffe sind in der Lage, die Wärmedifferenz zwischen Körpertemparatur und Raumtemperatur schneller abzuführen, so dass der menschl. Körper eine entsprechend große Wärmemenge nachführen muss.

Es gibt noch zwei weitere Mechanismen für den Wärmetransport, die wir hier nicht ausführlich behandeln werden:

  • Konvektion: Wärmetransport in Gasen, Flüssigkeiten durch Austausch von Stoff mit unterschiedlicher Temperatur (Stofftransport)

  • Wärmestrahlung: Alle Körper senden elektromagnetische Strahlung ("Licht") aus. Diese Strahlung trägt Energie fort und transportiert somit Wärme (auch durch das Vakuum, wo Wärmeleitung und Konvektion verschwinden). Die Wärme der Sonne erreicht die Erde ausschließlich durch Wärmestrahlung (im Mittel 4.2 kW/m**2).

4.2.4 Diffusion und Osmose

Was passiert, wenn zwei Gas-/Flüssigkeits-Volumina in Kontakt kommen?

Da die einzelnen Moleküle eine (zufällige) temperaturabhängige Geschwindigkeitsverteilung besitzen, werden Moleküle des einen Volumens in das andere eindringen und umgekehrt - die Stoffe vermischen sich.

Diese Vermischung nennt man Diffusion

Diffusion Applet

Durch die Diffusion findet effektiv ein Transport der Stoffe statt:

Diffusion.png

Der Teilchenstrom j, d.h. die Stoffmenge, die pro Zeit durch eine Fläche A um einen Weg dX transportiert wird hängt ab vom Konzentrationsunterschied dc:

 j = - D \frac{dc}{dx} \quad \mathrm{Diffusionsgesetz}

Dabei ist Proportionalitätskonstante D der Diffusionskoeffizient .

Das Minuszeichen steht, weil der Teilchenstrom vom Gebiet hoher Konzentration zu einem Gebiet Niedrigerkonzentration fließt.

Man beachte die formale Ähnlichkeit zur Wärmeleitung. In beiden Fällen ist die thermische Bewegung der Moleküle die Ursache für den jeweiligen Strom. Bei der Wärmeleitung handelt es sich jedoch nur um den Transport von Energie, die Teilchen bleiben an Ort und Stelle während bei der Diffusion Teilchen transportiert werden!

Da sich bei der Vermischung der Konzentrationsgradient selbst durch den Teilchenstrom ändert (er wird geringer) nimmt auch der Strom ständig ab. Nach sehr langer Zeit tritt die völlige Durchmischung ein, der Diffusionsstrom wird null (exponentiell abfallend).

In unserem Beispiel zweier zunächst getrennter Gase, die sich durchmischen findet die Diffusion in beide Richtungen statt.

Bei der Osmose erreicht man (oder die Natur), dass nur Moleküle einer Sorte durch eine Membran diffundieren können, die einer anderen Sorte jedoch nicht.