1.3 Messen, Messfehler, Fehlerfortpflanzung1.3.1 MessenErst durch den Vorgang des Messens wird die Physik (und andere Naturwissenschaften) zur quantitativen Wissenschaft. Das Messen (Vergleich mit einem Maßstab) erlaubt es auch menschliche Unwägbarkeiten zu verringern. Wie sehr sich die menschlichen Sinnesorgane gelegentlich täuschen können wird an einigen Beispielen demonstriert: Versuche zur optischen Täuschung1.3.2 SchätzenSchätzen ist eine wichtige Fähigkeit von guten Naturwissenschaftlern
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1.3.3. MessfehlerPhysik ist zwar eine "exakte" Wissenschaft (sie versucht exakte, quantitative Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen herzustellen), der Vorgang des Messens ist jedoch nie exakt. Jede gemessene Größe hat einen Messfehler. Messfehler = Differenz zwischen Messwert und dem hypothetischen (aber grundsätzlich unbekannten) wahren Wert einer physikalischen Größe Messfehler selbst lassen sich nicht messen! Sie lassen sich aber schätzen. Messfehler sind kein "Versagen", sie sind eine grundlegende Konsequenz des Vorgangs "Messen". Man unterscheidet zwischen 2 Gruppen von Messfehlern: Systematische Fehler: Systematische Fehler treten zum Beispiel auf, wenn eine Skala (z.B. Lineal) nicht genau geeicht ist. Sie treten auch auf, wenn die Randbedingungen einer Messung nicht denjenigen entsprechen, die man zur Ableitung eines physikalischen Zusammenhangs annimmt. Beispiel: Reibungsfrei gelagerte Körper bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Wenn es jedoch eine Restreibung gibt (was praktisch immer der Fall ist, wird man dieses Natuergesetz auch nur näherungsweise bestätigen können. Systematische Fehler sind schwierig zu bestimmen (d.h. abzuschätzen). Es gehört häufig Experimentiererfahrung dazu, um gute Fehlerabschätzungen zu erhalten. Systematische Fehler treten auch bei Wiederholung des Versuchs mit der gleichen Größe auf - sie sind reproduzierbar. Zur Verringerung von systematischen Fehlern werden viele technische Geräte regelmäßig geeicht , d.h. mit die Messung wird mit der Messung eines technisch aufwendigeren Gerätes abgeglichen (Beispiele: Zapfsäulen an Tankstellen, Waagen im Gemüseladen, Blutdruckmessgeräte, pH-Meter, ...). Eine Möglichkeit, systematische Fehler abzuschätzen, ist es, die gleiche Größe mit zwei verschiedenen Methoden zu bestimmen, oder bestimmte Messgeräte auszutauschen (z.B. mit zwei verschiedenen Linealen zu messen). Der Unterschied der beiden Messungen ist dann ein Schätzwert für den systematischen Fehler. Statistische Fehler: Wie genau kann man eigentlich mit einem Lineal mit Millimetereinteilung messen? (vernachlässigen wir den systematischen Fehler). Wenn der Ableser keine "menschlichen" Fehler macht, sicher auf +- 1mm. Aber eigentlich geht es genauer, denn man kann schätzen wie weit die zu messende Länge zwischen zwei Teilchstrichen liegt. Wenn man eine Messung wiederholt, wird man jedesmal einen anderen Messwert erhalten. Auch wenn die Ursachen der unterschiedlichen Messwerte vielleicht konkrete Ursachen haben, nehmen wir trotzdem an, sie seien zufällig um den wahren Wert verteilt (häufig, weil wir dir Ursachen einfach nicht kennen - manchmal (in der Quantenphysik), weil wir die Ursache prinzipiell nicht kennen können. Die Streuung der einzelnen Messwerte ist ein Maß für den statistischen Fehler einer Messung. Messwerte werden immer angegeben als "(Wert![]() ![]() ![]() oder manchmal auch ![]() bei asymmetrischen Fehlern auch: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1.3.4. FehlerfortpflanzungWie groß ist der Messfehler einer (durch Rechnung) abgeleiteten physikalischen Größe, wenn die Messfehler der gemssenen Größen bekannt sind?![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1.3.5. Mittelwert und StreuungWenn man viele Messungen der gleichen Größe durchgeführt hat (eine Messreihe ) fragt man sich: und was ist nun mein Messwert? Und wie groß ist der statistische Fehler? Das am häuftgsten verwendete Rezept für den Messwert der sich aus einer Messreihe ergibt ist der Mittelwert . Der Mittelwert wird gebildet, indem man alle Einzelwerte addiert und dann durch deren Anzahl dividiert:![]()
![]() 1.3.6. Die Rolle des Zufalls - StatistikHäufig lassen sich keine sinnvollen Aussagen über einzelne Prozesse (Ereignisse) machen, sondern nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage für ein bestimmtes Ergebnis eines Experiments. Beispiel: Bernoulli'sche Nagelbrett. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel links ("Erfolg") oder rechts ("Misserfolg") vorbeifällt ist jeweils 50%. Frage: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen? Diese Wahrscheinlichkeit wird durch die Binomialverteilung beschrieben: Das Bernoulli'sche Nagelbrett als Java Applet Die Wahrscheinlichkeit bei![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
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