4.2 Thermische Bewegung
4.2.1 Wärmemenge
4.2.2 Molekularbewegung
Wir hatten den Temperaturbegriff bisher nur sehr vage formuliert.
Energie = Wärmekapazität * Temperatur
Wo bleibt die in einem Stoff gespeicherte Wärmeenergie?
Temperatur =
statistischer Begriff ; nur anwendbar auf viele Teilchen (Ensemble).
1 Mol = 6 10

Teilchen

Bahnen der einzelnen Teilchen nicht berechenbar. Temperatur beschreibt
den "durchschnittlichen" Bewegungszustand der Teilchen. Die Wärmeenergie ist (mikroskopisch) gespeichert in
- Translations-Energie
(Gase und Flüssigkeiten)
- Rotations-Energie (Gase und Flüssigkeiten)
- Vibrations-Energie (Festkörper)
Die Bewegung der einzelnen Moleküle ist ungeordnet (zufällig).
Wird sichtbar in der Brown'schen Molekularbewegung
Freiheitsgrade (Gase)
- Jedes Molekül kann sich in drei Raumrichtungen bewegen.
3 Freiheitsgrade
- Zwei-atomige Moleküle können darüberhinaus um zwei unabhängige Achsen rotieren
2 weitere Freiheitsgrade
- Mehr-Atomige Moleküle kónnen um drei unabhängige Achsen rotieren
noch ein weiterer Freiheitsgrad
Freiheitsgrade (Kristalle, z.B. einfache Metalle)
- Jedes Molekül kann in drei Raumrichtungen schwingen. Mit jeder Schwingungsrichtung sind zwei Freiheitsgrade
verbunden (1 für kinetische Energie, 1 für potentielle Energie)
Gleichverteilungssatz:
Die mittlere Bewegungsenergie in einem Molekül beträgt pro Freiheitsgrad
Damit kann man die Wärmekapazität ausrechenen:
Die thermische Energie in N Molekülen eines einatomigen Gases (z.B. Helium)
ist

. Damit ist die molare Wärmekapaizität
Für ein zwei-atomiges Gas (Sauerstoff, Stickstoff) gilt
Für ein mehratomiges Gas (z.B. Kohlendioxid CO2) gilt
Dies gilt, wenn man das Volumen des Gases konstant hält. Wenn man erlaubt, dass sich das Gas bei Erwärmung
ausdehnt (also z.B. den Druck konstant hält), verrichtet das Gas zusätzlich Volumenarbeit; die Wärmekapazität
bei konstantem Druck ist also größer, als die bei konstantem Volumen.
Für Flüssigkeiten ist die Situation komplizierter, da hier die Wechselwirkung mit den Nachbarmolekülen
eine Rolle spielt. Daher ist beispielsweise die Wärmekapazität von Wasser stark von der Temperatur selbst
abhängig ("Anomalie").
Bei kristallinen Festkörpern ist die Situation wieder etwas einfacher. Ein Molekül schwingt an einem festen Ort
Mit jeder Schwingungsrichtung sind zwei Freiheitsgrad (für die kinetische und die potentielle Energie verbunden).
Die molare Wärmekapazität von Metallen ist in etwa
Die Energie pro Freiheitsgrad ist die
mittlere Energie pro Molekül. Die tatsächliche Energie
schwankt von Molekül zu Molekül es gibt schnellere und langsamere.
In Gasen wird die Geschwindigkeit der Moleküle beschrieben durch die
Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung . Sie gibt die relative Häufigkeit an, mit der man bei einer gegeben Temperatur welche Geschwingikeit
findet.
4.2.3 Wärmeleitung
Wenn man zwei Körper in Kontakt bringt gleichen sich ihre Temperaturen mit der Zeit an.
Dadurch wird Energie vom wärmeren auf den kälteren Körper übertragen.
Durch die Kontaktfläche wird als Energie transportiert. Der Energietransport findet statt durch
elastische Stöße der Moleküle an der Kontaktfläche. Dadurch verlieren die Moleküle im wärmeren Körper
im Mittel Energie, die im kälteren gewinnen Energie.
Wie schnell dieser Ausgleich der Temperaturen stattfindet hängt vom Stoff ab.
Wenn eine Wärmemenge

durch eine Fläche in einer Zeit

transportiert wird nennt man die pro Zeit transporierte
Wärmemenge den
Wärmestrom
Je größer die Kontakt fläche ist, desto mehr Wärme kann transportiert werden. Den Wärmestrom pro Fläche nennt man
die
Wärmestromdichte
Je größer der Temperaturunterschied

entlang einer Strecke

ist, desto größer ist die
Wärmestromdichte:
Minuszeichen: die Wärmeenergie fließt von hoher zu niedriger Temperatur. Wenn

postiv ist, ist

negativ. Die Materialeigenschaft

heißt
Wärmeleitfähigkeit .
Einheit von

: J / (m s K) = W / (K m)
Beispiele für Wärmeleitfähigkeiten:
Stoff | Wärmeleitfähigkeit in W/Km |
Aluminium | 238 |
Eisen | 15 |
Kupfer | 394 |
Holz | ~0.2 |
Glas | 1.0 |
Glaswolle | 0.042 |
Wasser | 0.600 |
Luft | 0.026 |
Beispiel:
Die Oberseite einer Kellerdecke habe konstant die Temperatur 10 Grad Celsius. Im Darüberliegenden Wohnzimmer
hält die Heizung die Temperatur konstant auf 25 Grad Celsius.
Welche Wärmemenge wird pro Quadratmeter und Selunde aus dem Wohnzimmer in den Keller transportiert wenn der Fussboden
aus
- a) 1cm Marmor (
) besteht?
- b) 1cm Kork (
) besteht?
Die große Wärmeleitfähigkeit ist der Grund warum sich Metalle, Marmor etc. "kalt anfühlen". Die Stoffe
sind in der Lage, die Wärmedifferenz zwischen Körpertemparatur und Raumtemperatur schneller abzuführen,
so dass der menschl. Körper eine entsprechend große Wärmemenge nachführen muss.
Es gibt noch zwei weitere Mechanismen für den Wärmetransport, die wir hier nicht ausführlich behandeln werden:
- Konvektion: Wärmetransport in Gasen, Flüssigkeiten durch Austausch von Stoff mit unterschiedlicher
Temperatur (Stofftransport)
- Wärmestrahlung: Alle Körper senden elektromagnetische Strahlung ("Licht") aus. Diese Strahlung trägt Energie
fort und transportiert somit Wärme (auch durch das Vakuum, wo Wärmeleitung und Konvektion verschwinden).
Die Wärme der Sonne erreicht die Erde ausschließlich durch Wärmestrahlung (im Mittel 4.2 kW/m**2).
4.2.4 Diffusion und Osmose
Was passiert, wenn zwei Gas-/Flüssigkeits-Volumina in Kontakt kommen?
Da die einzelnen Moleküle eine (zufällige) temperaturabhängige Geschwindigkeitsverteilung besitzen, werden
Moleküle des einen Volumens in das andere eindringen und umgekehrt - die Stoffe vermischen sich.
Diese Vermischung nennt man
Diffusion
Diffusion Applet
Durch die Diffusion findet effektiv ein Transport der Stoffe statt:
Der Teilchenstrom j, d.h. die Stoffmenge, die pro Zeit durch eine Fläche A um einen Weg

transportiert
wird hängt ab vom Konzentrationsunterschied

:
Dabei ist Proportionalitätskonstante

der
Diffusionskoeffizient .
Das Minuszeichen steht, weil der Teilchenstrom vom Gebiet hoher Konzentration zu einem Gebiet
Niedrigerkonzentration fließt.
Man beachte die formale Ähnlichkeit zur Wärmeleitung. In beiden Fällen ist die thermische Bewegung der Moleküle
die Ursache für den jeweiligen Strom. Bei der Wärmeleitung handelt es sich jedoch nur um den Transport von Energie,
die Teilchen bleiben an Ort und Stelle während bei der Diffusion Teilchen transportiert werden!
Da sich bei der Vermischung der Konzentrationsgradient selbst durch den Teilchenstrom ändert (er wird geringer)
nimmt auch der Strom ständig ab. Nach sehr langer Zeit tritt die völlige Durchmischung ein, der Diffusionsstrom
wird null (exponentiell abfallend).
In unserem Beispiel zweier zunächst getrennter Gase, die sich durchmischen findet die Diffusion in beide
Richtungen statt.
Bei der
Osmose erreicht man (oder die Natur), dass nur Moleküle einer Sorte durch eine
Membran diffundieren können, die einer anderen Sorte jedoch nicht.