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3.3. Druck

3.3.1. Definition

Wir hatten bei der Untersuchung der Verformung von Festkörpern schon eine spezielle Form von Druck, die Druckspannung, kennengelernt. Wir wollen uns jetzt allgemeiner mit dem Begriff Druck beschäftigen. Vorallem bei Flüssigkeiten und Gasen spielt diese physikalische Größe eine zentrale Rolle.

Unter dem Druck (der auf eine bestimmte Fläche wirkt) versteht man die senkrecht einwirkende Kraft geteilt durch die angegriffene Fläche:

Druck = Kraft / Fläche

 p = \frac{F}{A}

Die Einheit des Druckes ist das Pascal, 1 Pa = 1 \frac{N}{m^2} . 10^5 Pa sind 1 bar.

Beim Druck kursiert noch eine Vielzahl älterer nicht-SI-Einheiten:

  • 1 Torr = 1 mm Hg = 133 Pa
  • 1 at = 1 kp/cm^2 = 98100 Pa (1 at = technische Atmosphäre)
  • 1 atm = 101325 Pa = 760 Torr (1 atm = physikalische Atmosphäre; normaler Luftdruck bei Höhe N.N.)

3.3.2. Druck in ruhenden Flüssigkeiten

Zwei Sorten, Stempeldruck und Schweredruck

Stempeldruck:

wird durch äußere Krafteinwirkung ("Stempel") erzeugt.

Der erzeugte hydrostatische Druck ist überall in einer Flüssigkeit gleich groß (solange man den Schweredruck, der durch die Gravitation erzeugt wird, vernachlässigen kann).

Er ist nicht nur überall gleich groß, sondern auch unabhängig davon, wie die Fläche gerichtet ist, auf die der Druck ausgeübt wird.

Versuch: Allseitigkeit des Druckes.

Hydraulische Presse:

Anwendung des Prinzips der Allseitigkeit des Druckes um (z.B.) schwere Lasten zu heben.

Bei Wirkung einer Kraft auf eine kleine Fläche kann ein hoher Druck erzeugt werden. Da dieser Druck überall im System herrscht, kann an anderer Stelle eine große Kraft (über eine große Fläche) erzeugt werden.

Es gilt

 p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}
also ist die Kraft auf der rechten Seite
 F_2 = p A_2 = F_1 \frac{A_2}{A_1}
Wenn man den Kolben 1 um eine Strecke s_1 nach unten drückt ist die verrichtete Arbeit
W = F_1 s_1 = p A_1 s_1 = p V
Die potentielle Energie, die das Gewicht rechts gewinnt ist
E_{pot} = F_2 s_2 = F_2 \frac{V}{A_2} = p V = W
also genau gleich der links verrichteten Arbeit.

Allgemein ist die durch Volumenänderung verrichtete Arbeit, wenn der Druck nicht konstant bleibt

W = \int p(V) dV

Man nennt sie Volumenarbeit

HydraulischePresse.png

Versuch: Wagenheber

Schweredruck

Neben von außen direkt einwirkender Kraft (Stempel) wirkt auf Flüssigkeiten und Gase natürlich immer die Schwerkraft. Durch die Schwerkraft wird von Flüssigkeit/Gas selbst ein Druck erzeugt, der in einer Tiefe h von der Gesamt oberhalb liegenden Flüssigkeitsmenge abhängt.

Schweredruck.png

Man erkennt, dass der Schweredruck linear mit der Flüssigkeitstiefe h zunimmt und gegeben ist durch

 p_g = \rho g h

Wenn zusätzlich zum Schweredruck noch ein äußerer Stempeldruck p_s wirkt, addieren sich beide Drücke:

 p = \rho g h + p_s

Das gilt für Flüssigkeiten, die in guter Näherung inkompressibel sind. Bei Gasen verhält es sich etwas anders, da das Gas durch den Schweredruck selbst zusammengedrückt wird, d.h. sein Volumen und damit auch seine Dichte ändert, so dass \rho = \rho(h) selbst eine Funktion der Höhe h ist.

Beispiel:

Der Luftdruck (auf Meereshöhe) beträgt etwa 1 bar = 10^5 Pa. Wie groß ist der gesamte hydrostatische Druck im Meer in 10 m Tiefe?

Dichte von Wasser \rho_{Wasser} \approx 1 \frac{kg}{dm^3} = 1000 \frac{kg}{m^3}

Der Druck ist  p = p_g + p_s = \rho g h + p_s = 1000 \frac{kg}{m^3} \, 9.81 \frac{m}{s^2} \, 10 m + 10^5 Pa = 0.981 10^5 Pa + 10^5 Pa \approx 2 p_g

Beispiel Luftdruck:

Wie hoch müsste die Lufthülle der Erde sein, wenn Luft eine inkompossible Flüssigkeit wäre:

\rho_{Luft} \approx 1.2 \frac{kg}{m^2}

p(h) = 10^5 Pa = \rho g h

h = \frac{p}{g \rho} = \frac{10^5 Pa s^2 m^2}{9.81 m 1.2 kg} \approx 8500 m. Dann würde der Mount Everest bereits aus der Lufthülle herausragen. Aufgrund der Kompressibilität der Luft nimmt der Luftdruck mit der Höhe nicht linear, sondern exponentiell ab.

Für ideale Gase gilt  p V = const, also ist  \frac{p(h)}{\rho(h)} = \frac{p(h=0)}{\rho(h=0)} = \frac{p_0}{\rho_0} .

Eine "Scheibe" Luft der Dicke dh in der Höhe $h$ trägt also einen Druck

 dp = - \rho(h) g dh = - p(h) \frac{\rho_0}{p_0}  g dh
 \frac{dp}{p} = - \frac{\rho_0}{p_0} g dh
 \int_{p_0}^{p_h} \frac{1}{p} dp = \int - \frac{\rho_0}{p_0} g dh
 \ln \frac{p_0}{p_h} = -\frac{\rho}{p_0} g h

also nimmt der Druck exponentiell ab:

 p(h) = p_0 e^{-\frac{\rho_0}{p_0} g h}

Hoehenformel.jpg

(willkürliche Einheiten)

Hydrostatisches Paradoxon:

Der Schweredruck hängt ausschließlich von der Tiefe h ab, nicht von der Form der darüberliegenden Flüssigkeit, also der Form des Gefäßes:

HydroParadoxon.png

In allen drei Gefäßen herrscht der gleiche Druck.

-- Main.deschPHYSIK.UNI-FREIBURG.DE - 20 May 2006